18 Ekim 2019

0! neden 1 dir ?

ile Serdar ŞAKİROĞLU

Faktöriyel konusunu okul yıllarından hatırlarsınız. Herhangi bir matematik ders kitabını açtığınızda karşınıza faktöriyel ile ilgili şu ifade çıkacaktır.

Tanım: n doğal sayı olmak üzere, 1 den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına ‘n faktöriyel’ denir ve  n! şeklinde gösterilir.

n!=1.2.3……..(n-1).n

0!=1 ve 1!=1 dir.

Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120, 

4!=4.3.2.1=24, 

6!=6.5.4.3.2.1=720 olur.

İşte bu tanımda kafa karıştıran nokta 0!=1 ifadesidir.

Aslında bunun farklı gösterim biçimleri olsa da bu yazıda en basit olanını açıklamaya çalışalım.

Aslında bu bir ispat değil sadece gösterim biçimi baştan bunu söylemek gerekir.

Sonuçta matematikte bazı şeyler kabul edilmelidir. 0!=1 olması da bunlardan biridir.

Ancak yine de konuyu açıklarken neden bu biçimde kabul edilmesi gerektiğine dair aşağıdaki giriş anlatılabilir.

Tanım: n!=n.(n-1)! biçiminde yazılabilir. Yani 6!=6.5! biçiminde gösterilebilir.

O zaman bunu daha farklı nasıl ifade edebiliriz diye düşünürsek…

gibi bir örüntü çıkar karşımıza. Ve devam edersek…

Eşitliğini elde ederiz. Peki elimiz değmişken biraz daha devam edelim diye düşünürsek orada işler biraz karışacaktır. Neden derseniz…

Ortaya çıkacaktır. Bu da matematikte tanımsız bir bölüme ulaşmak demektir. Demek ki daha fazla devam edemeyiz, örüntü tamamlanmıştır.


0!=1 eşitliğinin nedenini basit bir biçimde, bir başka şekilde daha sezinleyebiliriz aslında.

Faktöriyel kavramı permütasyon ve kombinasyon konularının temelini oluşturmaktadır.

n! diye tanımladığımız şey aslında n tane farklı nesneyi kendi içinde nasıl sıralayabileceğimizin sayısıdır. Yani 3 tane farklı tişörtünüzü bir rafa sıraya dizmek isterseniz bunu 3!=6 kadar şekilde yapabilirsiniz.

Peki tişört sayınız iki olursa. Elbette o zaman cevabınız 2!=2 olacaktır. Bir tanecik tişörtünüz varsa da o zaman üzgünüz sadece bulunduğu biçimde kalacaktır 🙂

Yani 1!=1 olacaktır.

Eğer hiç tişörtünüz yoksa işin içine biraz felsefe karışıyor. “Hiç tişörtüm yok, bunu kaç farklı biçimde sıralayabilirim?”

Cevabınız elbette sıralayamam olacaktır ama unutmayın bu cevap matematikte boş kümeye karşılık gelmektedir ki o da “bir” durum ifade eder. Yani 0!=1 dir.

Kaynak: matematiksel.org