20 Ekim 2019

Alt küme sayısı nasıl hesaplanır?

ile Serdar ŞAKİROĞLU

Alt küme sayısına bir bakış…

Alt küme sayısının hesabına başka bir açıdan bakmaya çalışalım.

Bunun için saymanın temel ilkelerini hatırlamakta fayda var.

Birkaç örnekle sorunun çözümünde ihtiyacımız olan kısmını hatırlamaya çalışalım.


A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden de C şehrine 2 farklı yol olsun. A şehrinden C şehrine gitmek isteyen bir kişi, B şehrinden geçmek şartıyla kaç farklı biçimde bu işi tamamlayabilir?

Burada yapılacak işleri düşünelim. Önce A’dan B’ye gideriz, daha sonra da B’den C’ye gideriz. Şimdi bu işler için seçenek sayılarımızı bulalım. A’dan B’ye gitmek için 3 seçeneğimiz var. B’den C’ye gitmek için ise 2 seçeneğimiz var. Soruda bizden istenen; bu iki işin de yapılmasıdır. Kaç farklı yoldan gidebileceğimizi bulmak için yapmak zorunda olduğumuz işlerin seçenek sayılarını çarpmamız gerekir. Bu durumda sorumuzun cevabı 3∙2 = 6 olur.


Şimdi yukarıdaki yöntemi alt küme sayısının hesaplanmasında kullanmaya çalışacağız.

Önce belirli bir sayıda elemanı olan bir kümenin alt küme sayısını hesaplamaya çalışalım. Daha sonra da bu çözümü genelleyerek formüle çevirelim.


Şimdi 3 elemanlı  A = { a , b , c }  kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu hesaplamaya çalışalım. Bunun için öncelikle tüm alt kümeleri teker teker yazabiliriz. Ancak bizim amacımız bir formüle öncülük etmek olduğundan bu yöntemi es geçiyoruz.

Alt kümeyi bir kutu olarak düşünelim. Bu kutuda A kümesinin elemanlarının bazıları veya hepsi olabilir. Hatta hiçbiri olmayabilir de (Boş küme de kümenin bir alt kümesidir). Şimdi sorumuz bu kutuyu kaç farklı biçimde oluşturabiliriz?

Bunun için her bir elemanın bu kutuda yer alıp almadığını inceleyelim.

a elemanı kutunun içinde veya dışında olabilir. Yani a elemanı için 2 durum söz konusudur.

b elemanı da kutunun içinde veya dışında olabilir. b elemanı için de 2 durum söz konusudur.

Ve yine c elemanı için de kutunun içinde veya dışında olmak üzere 2 durum söz konusudur.

Sorumuzun çözümü için A kümesindeki tüm elemanların kutuda olup olmadığını incelemek zorundayız.

Bu durumda elde edilen seçenek (durum) sayılarını çarpmamız gerekir. Yani sonuç  2∙2∙2 = 8  olarak bulunur.

A kümemizde 3 eleman vardı ve biz bu 3 elemanın her biri için iki farklı seçenek elde ettik. Ve bu seçenek sayılarını çarptık. Yani 3 elemanlı A kümesinin alt küme sayısını  “ 23 “  olarak bulduk.


Şimdi bunu örneğimizden yola çıkarak genellemeye çalışalım.

n tane elemanı olan bir B kümesinin alt küme sayısını bulalım.

Kümenin birinci elemanı için 2 durum var.

Kümenin ikinci elemanı için de 2 durum var.

Kümenin üçüncü elemanı için de 2 durum var.

Bu şekilde devam edecek olursak,

Kümenin n. Elemanı (son elemanı) için de 2 durum vardır.

Şimdi alt küme sayını bulmak için tüm bu seçenek sayılarını çarpmamız gerekir.

Alt Küme Sayısı = 2∙2∙2∙ ∙∙∙ ∙2 olur.   Burada n tane 2 çarpanı olduğundan bunu kısaca,

Alt Küme Sayısı = 2∙2∙2∙ ∙∙∙ ∙2 = 2n  olarak ifade edebiliriz.


İşte başardık. Nihayet formülümüzü elde ettik.

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı = 2n   formülü ile hesaplanır.